棱长2的正方体ABCD-A'B'C'D'中M是棱AA'的中点，过C、M、D'作正方体截面，求截面面积
延长D′M交DA的延长线于E，连CE交AB于F，则MD′CF就是过C、M、D′的截面。∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，∴AD＝A′D′，且EA∥A′D′，又AM＝A′M，∴△AEM≌△A′D′M，∴AE＝A′D′，∴AE＝AD。∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，∴AB＝DC，且AF∥DC，又AE＝AD，∴AF＝DC/2＝AB/2，结合AM＝A′M，得：MF∥A′B。∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，∴A′B∥D′C，结合证得的MF∥A′B，得：MD′CF是梯形。∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，∴AM⊥平面ABCD，∴AM⊥AC。由勾股定理，有：MC^2＝AM^2＋AC^2＝（AB/2）^2＋（√2AD）^2＝1＋8＝9。D′M^2＝A′M^2＋A′D′^2＝（AA′/2）^2＋4＝1＋4＝5，∴D′M＝√5。又D′C=√2DC＝2√2。∴由余弦定理，有：cos∠MD′C＝（D′M^2＋D′C^2－MC^2）/（2D′M×D′C）＝（5＋8－9）/（2√5×2√2）＝1/√10。∴sin∠MD′C＝√（1－1/10）＝3/√10。∴梯形MD′CF的高＝D′Msin∠MD′C＝√5（3/√10）＝3/√2。∴梯形MD′CF的面积＝［（MF＋D′C）×（3/√2）］/2＝［（√2AF＋√2CD）×（3/√2）］/2＝3（AF＋CD）/2＝3（AB/2＋2）/2＝3（1＋2）/2＝9/2。即：所要求的截面的面积为9/2。
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